北九州市立大学　2/25　国際環境工学部　数学解答のスレ：北九州市立大学 受験BBS

平成25年度　北九州市立大学　国際環境工学部の数学の解答を作るスレです。
今年の国際環境工学部の数学の第3問は、
例年の問題とは問題の傾向が変わり、多くの受験生がこの問題を
落としてしまったようです。

第1問から順に自分なりの解答を投稿します。
便宜上、途中の計算を省略することがあります。

第1問
(1)√(6+4√2)の小数部分aを求める。
二重根号は忘れた頃に現れますね。
知らないと解けないですね
回答は↓です。

　√(6+2√8)
＝√{(4+2)+2√(4×2)}
＝√4+√2
＝2+√2
ここで、√2≒1，41‥より、
　2+√2≒3，41‥
　ゆえに、a＝2+√2-3＝√2-1　‥ア

a＾2-1/a＾2＝(a-1/a)＾2+2
　　　　　 ＝(2√2)＾2　
　　　　　 ＝10　‥イ
(2)y＝3x＾2-6x+a+6　(0≦x≦3)の最小値が5となるような
　定数aの値とこのときの最大値

やはり平方完成してグラフを考えると簡単です。
y＝3(x-1)＾2+a+3
　軸x＝1、頂点(1，a+3)
頂点が定義域内にあるので、
頂点がそのまま最小値で　a+3＝5
　　　　　　　　　　　　∴a＝2‥ウ

　また、x＝3のとき最大値17

(3)0、1、2、3、4、5の6個の数字のうち3つを使って
３桁の整数をつくる。できる整数の個数と偶数の個数を求めよ。

百の位に0はこないので、
百の位が1〜5の5通り、十の位が0を含む百の位以外の5通り、
一の位が残りの4通り

ゆえに、
　5×5×4＝100(個)　‥オ

また、偶数は一の位が0、2、4である
(i)一の位が2か4のとき　
百の位が一の位と0以外の4通り、十の位が残りの4通りであるので、
2×4×4＝32(個)

(ii)一の位が0のとき
百の位が一の位以外の5通り、十の位が残りの4通りであるので、
5×4＝20(個)

よって、32+20＝52(個)　‥カ

今更ですが、問題文を省略して回答のみ書き込みます。
第1問
(4)四角形ABCDは円に内接するので、cosA＝-cosC
また、△ABDと△BCDに余弦定理より、
BD＾2＝34-30cosA‥�@
BD＾2＝98+98cosA‥�A
�@�Aより、
cosA＝-1/2

cosA＝cosθなので、
　cosθ＝1/2 ‥キ
　
よって、θ＝120°
また、△ABDと△BCDの面積は、
△ABD:15√3/4
△BCD:49√3/4
よって、四角形ABCDの面積は、上の二つの合計なので、
　16√3　‥ク

(5)　
　２枚とも赤いカードになるのは、
　C[4，2]/C[7，2]＝2/7 ‥ケ

とりうる、合計点は2点、6点、10点
それぞれの確率は、
2点‥2/7
6点‥C[3，1]×C[4，1]/C[7，2]＝4/7
10点‥1/7
よって期待値は、
1/7(2×2+4×6+10)＝38/7　‥コ

第2問
(1)因数分解した方が計算がらくになりますよ。
　x＾2+5xy+4y＾2
＝(x+y)(x+4y)
＝2(5-3i)
＝10-6i

よって、実部が10、虚部が-6


(2)円の方程式を、(x+a)＾2+(y+b)＾2＝10とする。
これは、2点(-1，0)(3，2)を通るので、
それぞれ代入して辺々引いて整理すると、
　b＝-2a-3
よって、中心の座標は(a，-2a-3)と表される。
これと、点(-1，0)の距離が√10より、
(a+1)＾2+(2a+3)＾2＝10
　　　　　　　∴a＝0，-(14/5)
よって、a＝0のとき、中心の座標(0，-3)
a＝，-(14/5)のとき、中心の座標(，-(14/5)，13/5) ‥スセソタ

(3)α、βはともに鋭角なので、
　cosα＞0、cosβ＞0
よって、sinα＝1/3、sinβ＝3/5より、
　cosα＝2√2/3、cosβ＝4/5
ゆえに、sin(α+β)＝(4+6√2)/15　‥チ

(4)*無表記ですが、底は2です。
　logｘ・logｘ/2＝12
　logｘ(logｘ-1)＝12
　　　　　logｘ＝4，-3
　　　　　　∴ｘ＝16、1/8　‥ツテ

(5)
　n≧2のとき、Sn＝n2＾(n+1)より、
　　　　　S(n-1)＝(n-1)2＾n
よって、
　ａn＝Sn-S(n-1)
　 　＝n2＾(n+1)-(n-1)2＾n　　
　　＝(n+1)2＾n
これは、n＝1のときも成り立つ。
　∴ａn＝(n+1)2＾n　‥ト

いよいよ今年の北九大国際環境工学部の受験生の多くが
悩んだ(私のクラスメイトだけかもしれませんが)と思われる
第3問です。
自分も普通の高校3年生なので、今から書く回答には多くの不備が
あるかもしれませんが、暖かく見守ってやってください(笑)

この問題はイメージ力が重要になります。


容器の切り口に注目すると、もちろん円ですね。
２点A，Bがこの円の直径の両端になるようにとりましょう。

(1)３点O，A，Bを含む平面で球体を切断すると、
　その断面は点Oを中心とする半径rの円である。
ここで、
座標平面の原点と点Oが重なり、
切り口がy軸方向に真上を向くように重ねます。

球体の体積は球の体積の公式に代入すると一発で出ますが。
しかし、この問では、
さっきの座標平面上の円のy＝r/2よりも上の部分は切り取られてしまっているので、
切り取れた部分の回転体の体積を求め、球体の体積から引くとよいでしょう。

円の方程式はx＾2+y＾2＝r＾2
　∴x＾2＝r＾2-y＾2
よって、切り取られた部分の体積は、
π∫[r/2→r]x＾2dy＝π∫[r/2→r](r＾2-y＾2)dy
　　　　　　　　　＝(5πr＾3)/24
球体の体積は、(4πr＾3)/3　なので、

求める容器の体積は 、
　(4πr＾3)/3 -(5πr＾3)/24
＝(9πr＾3)/8 ‥(答)

(2)
問題用紙にあるように、容器を真横からみて、
点A(またはB) が点Oの真下にくればよい。
∠AOB＝120°であることが長さの比からわかるので、
点A(またはB)が点Oの真下にくるのは120°傾けたときであることがわかる。

　∴θe＝(2π)/3　[120°]　‥(答)

第１問のイの答えが間違ってますよ
a^2=3−2√2
1/a^2=3+2√2
よってa^2−1/a^2=−4√2となります

訂正ありがとうございます(^q^)
携帯を買い替えたので新しくここから書き込みます。(´・ω・｀)

第３問
(3)

(2)より、
θの範囲は、0＜θ＜2π/3 である。

何度も言いますが、この問題は,イメージ力が大切です。
指示の通りに作図をすると
解りやすくなるかも知れませんので、
しっかりと作図してみましょう。
さらに、残った水の体積は一つの計算式からは
求められないのは明らかですから、
解答の方針としては、
球体に入っている水の水面から上の部分の体積を求める。
ということです。

(1)とおなじように球体を半分に切断した
断面図である半径rの円を座標平面におく、
第一象限にある方の切り口の点Aに注目!

容器に残っている水のの水面はこの点Aを通る、

y軸に垂直な直線に一致する。(イメージしてくださいね！)
ここで、この直線と円に囲まれた部分のうち、
水が入っていない方の図形について、
まず、点Aのy座標はθの値によって、どんどん小さくなって、
θ=0のとき、y座標はr/2
θ=2π/3のとき、y座標は-r
なので、
y=rsin(π/6−θ)
ゆえに、
水が入っていない部分の体積をVoとすると、
この図形をy軸について一回転してできる
図形の体積であるので、
Vo= π∫［rsin(π/6−θ)→r］x＾2dy
=π∫［rsin(π/6−θ)→r］(r＾2−y＾2)dy
=(2π/3)r＾3−πr＾3sin(π/6−θ)+(π/3)r＾3sin＾3(π/6−θ ) (途中計算式は省略します)
ここで、球体の体積は(4π/3)r＾3なので、
V=(4π/3)r＾3−Vo
=−(π/3)r＾3｛sin＾3(π/6−θ)−3sin(π/6−θ)−2｝ (計算省略)

すみません(´・ω・｀)
上の書き込みの初めのθの範囲に訂正があります。

0＜θ＜2π/3 …×
0≦θ≦2π/3 …◯

失礼しました(O.O;)(oo;)