名大文系数学：名古屋大学 受験BBS

難化→{emj_ip_0106}、易化→{emj_ip_0107}でお願いします。

3番
(1)
C1 と C2 が異なる２点で交わるための条件は，２次方程式
x^2/2 = -(x-a)^2 + b
すなわち
3x^2 -4ax + 2a^2 -2b =0
が異なる２つの実数解をもつことである。ゆえに，求める条件は
(判別式) = (-4a)^2 -4・3・(2a^2 ^2b)
=-8(a^2-3b)
>0
を解いて a^2-3b<0 である。
(2)
２次方程式
x^2/2 = -(x-a)^2 + b
の実数解を小さい順に α, β と置くと，解と係数の関係より
α+β = 4a/3, αβ = 2(a^2 -b)/3
となる。ゆえに，
(β-α)^3 = {(α+β)^2 -4αβ}^(3/2)
= {(8/9)・(3b-a^2)}^(3/2) ...�@
である。ところで，
S = ∫[α→β] {(-(x-a)^2+b)-x^2/2} dx
= (-3/2)∫[α→β] (x-α)(x-β) dx
= (-3/2)(-1/6)(β-α)^3
= (1/4)(β-α)^3 ...�A
であるから，S=16 であるための条件は
(β-α)^3 = 64
となることである。したがって �@ より，求める条件は
{(8/9)・(3b-a^2)}^(3/2) = (2^4)^(3/2)
すなわち
(8/9)・(3b-a^2) = 16
である。整理すれば
3b-a^2 = 18
となる。
(3)
�@，�A より，3b-a^2 が最大のときに S が最大になることがわかる。
b ≦ a+3 のとき，任意の実数 a, b に対して
3b-a^2 ≦ 3(a+3) -a^2
= -(a-(3/2))^2 + 45/4
が成り立ち，a=3/2 のとき，この等号が成り立つ。ゆえに 3b-a^2 の最大値は 45/4 であり，このとき
S = (1/4){(8/9)(45/4)}^(3/2)
= (1/4)・(10)^(3/2)
= (1/4)・10・√(10)
= (5√10)/2
である。したがって，求める最大値は (5√10)/2 である。