中期数学2月27日(感想)：東洋大学 受験BBS

1+1=2の証明
０．記号の説明
　n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。

１．自然数の体系
　まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
　集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：
(P1) s：N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。

　これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
　新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
[12]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
２．帰納的定義の原理
　以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。

【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：
（１） f(0)=x
（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))

（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。

　この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。

３．自然数の加法
　定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。

【定理２】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。

（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）

　任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって
�@　m+0=m
�A　m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
�B　0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
�C　s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら�@から�Cによって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち

【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。

（証明）上記�@から�Cによるが、少々長くなるので文献におまかせ。

[13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
４．「１＋１＝２」の証明
　上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、
　（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。

　さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、�@�Aによって
�D　s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。

　ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。
　s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば�Dより
　s(1)=1+1
　∴ 2=1+1 （証明終)


気にせず中期数学の感想書いてください。

計算ミスなければ９割

前期の難易度と違いすぎて困っちゃうわ^^

問2閃いたときとても気持ちよかった

>>6 9割取れるやつが後期試験受けてたらもうそいつは日本語が喋れないかアルファベットすら覚えてないやつなのよ

どっちといたのみんな

場合の数出来なかった

大問1、一番下までかと思い1つ多くマークしてしまったのですがこれって0点になりますか？

大問1の1番最後の最小値が6になったから-6にしたんだが同じ人いない？
いるわけないか

焦ってマークミスして終了
お疲れ様でした

ベクトルの答え教えてくれ！

ムズいて

大門2解けなかった人ぐっと

ここは理系数学の人たち？
文系数学いないの？

>>15 OD=(2a+b)/3
OE=(2a+1b+5c)/8
OF=(2a+1bh5c)/32
OP=(1b+5c)/30
AF:FP=15:1
になった

>>4 最大31 最小-1になった同士おらんか？いなかったらあばよ東洋

文系数学割と簡単じゃなかった(？)

問2
(1)正六角形を正三角形×6だとかんがえてaをxで表す
(2)は流れに沿って

>>20
同じ

>>20 おれも同じ値になったよ

>>20同じだよ（ ; ; ）

東洋で部分積分出るんだね。理解なら、全部数三とか数列とかにして欲しい。

>>21
10日の文系数学よりは簡単だった
でも大門2最初わからんくてその後も芋づる式にわからないやつかと思って放置してたら単発問題ばっかで解いてなくて終わった

>>19
僕もそうなりました

誰か問2の答え載っけて

問2(1)a=6-(2√3)/3x
(2)54√3-36x+2√3x^2
(3)x=√3の時容量は72

>>9
理系数学の方でしたらすみません{emj_ip_0144}*♀*
自分は文系数学だったので簡単に感じただけです。
気分を害されたら申し訳ございませんでした。

>>30 大問2の最後は最大値が整数って理由だけで答えが求まったから楽だった

大問1
(1)5√5/2
(2)4＜m＜8
(3)-23/12
(4)1/39
(5)48
(6)最大値31,最小値-1
大問2
(1)6-2√3/3x,54√3-36x+2√3x
(2)分からなかった
大問3
(1)π/2,3π/2
(2)3+2/π
(3)9-2/π

自信あるけどミスは普通にありそう

>>33
大問2の(1)の最後x^2だ書き間違えてた

-23/24じゃね

>>35 俺も同じだわ

>>31
まぁ文系数学でも9割取れてんなら前科なんで落ちたって感じやけどね

>>35
ほんとだミスってた

そんなん話題にするほどの問題なかっただろ。

>>19
bの係数は1って書けばいいんですよね？

大問３の最後何になりました？

平均どれくらいと予想しますか？
60〜65 {emj_ip_0106}
55〜60 {emj_ip_0107}

大問３の最後5-2/πになったけど、計算ミスあるかもしれん

>>43

俺も同じだから合ってるかもです

よかったです。
ありがとうございます{emj_ip_0004}

誰か問4のベクトルの答えのっけてーーーーーーーーーーーーーー

>>46
(1)OD=2a+1b/3,OE=2a+1b+5c/8,
OF=2a+1b+5c/32
(2)OP=1b+5c/30
(3)15:1

経営学部で出願した者です。
�Vの(2)(3)以外できてよっしゃ→なんか47ページからにも数学あるなぁ→解くところミスった？

難化 {emj_ip_0106}
易化 {emj_ip_0107}

理系数学平均どれくらいだと思う？
60〜65 {emj_ip_0106}
55〜60 {emj_ip_0107}

100てんばもす

みんなどれくらい取れたん？
6割以上{emj_ip_0106}
6割以下{emj_ip_0107}

10割とか9割の人多いから怖いんだが

>>53
ほんとにそれな
個人的に全然出来んかったからまじ怖い
平均6割後半〜7割とかだったら死ぬ笑笑

これでめっちゃ取れた！ってなに、後期で理系数学使うから中期のやつついでに解いてみたら大問2わけわかんなくて一点も点数ない
大問1と3は簡単だけど2-1出来なかったらツムツムでしょ、