推薦で有名な大学：上智大学 受験BBS

推薦笑

はんまー大学

実数a,b は a?-10a＋b?=0 を満たしており
xの二次方程式 x?＋ax＋4b=0 の解をα,β とおく
ただしこの方程式は実数解を持つとする。
この時、√3/4 αβ-(α＋β) の値の範囲を求めよ。
＜解答＞
解と係数の関係より α＋β =-a , αβ=4b なので
√3/4 αβ-(α＋β)=√3b ＋a (=k とおく)
(a,b)の存在範囲を考える
a?-10a＋b?=0 ⇔(a-5)?＋b?=5? �@
及び、x?＋ax＋4b=0が実数解を持つ条件から
a?≧16b�A
が得られる。
すなわち存在範囲は�@かつ�Aである。
この範囲で 直線√3b＋a =k が存在していることから、kが最大の時 (a,b)は�@と、�Aの境界面の交点であり、kが最小の時、(a,b) はこの直線と�@の接点である。また、kの値はこの値の間を連続で変化する。
kが最大の時、
結局、aの方程式 a(a^3/256 ＋a -10)=0 の解を求めることとなり、この解のひとつとしてa=8 が得られる。形から a=0と8以外は解を持たないことは容易にわかるので、適当なaは8であり、この時 b=4 , k=8＋4√3 となる。
kが最小の時、
判別式から、kの二次方程式(k＋15)?-4k?=0
が得られ、適当な解を選ぶと k=-5 である。
すなわち、
求めるk(もとい、√3/4 αβ-(α＋β))の値の範囲は、-5≦k≦8＋4√3 となる。